Ο κύκλος και τα στοιχεία του αποτελούν θεμελιώδη κεφάλαια της Γεωμετρίας. Ακολουθεί η ανάλυση της θεωρίας και παραδείγματα ασκήσεων:
0.1 Θεωρία Κύκλου και Στοιχείων του
Ορισμός Κύκλου: Κύκλος με κέντρο \(O\) και ακτίνα \(\rho\) ονομάζεται το σύνολο των σημείων του επιπέδου που απέχουν από το \(O\) την ίδια απόσταση \(\rho\).
Ακτίνα (\(\rho\)): Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει το κέντρο με ένα σημείο του κύκλου. Όλες οι ακτίνες του ίδιου κύκλου είναι ίσες.
Χορδή: Κάθε ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο σημεία του κύκλου.
Διάμετρος (\(\delta\) ή \(d\)): Η χορδή που διέρχεται από το κέντρο του κύκλου. Είναι η μεγαλύτερη χορδή και ισούται με δύο ακτίνες (\(\delta = 2\rho\)).
Τόξο: Κάθε ένα από τα δύο μέρη στα οποία χωρίζεται ένας κύκλος από δύο σημεία του.
Ημικύκλιο: Το τόξο που ορίζεται από μια διάμετρο. Τα ημικύκλια του ίδιου κύκλου είναι ίσα.
Κυκλικός Δίσκος: Ο κύκλος μαζί με το μέρος του επιπέδου που περικλείει.
Επίκεντρη Γωνία: Η γωνία που έχει την κορυφή της στο κέντρο του κύκλου και οι πλευρές της είναι ακτίνες. Το μέτρο της είναι ίσο με το μέτρο του αντίστοιχου τόξου.
Το τόξο που βρίσκεται στο εσωτερικό της κυρτής επίκεντρης γωνίας λέγεται αντίστοιχο τόξο της επίκεντρης γωνίας. Το ίδιο ισχύει και για την μη κυρτή επίκεντρη γωνία.
Σε έναν κύκλο ή σε ίσους κύκλους, δύο ίσες επίκεντρες γωνίες έχουν ίσα αντίστοιχα τόξα. Και αντίστροφα:
Σε έναν κύκλο ή σε ίσους κύκλους, δύο ίσα τόξα έχουν ίσες τις επίκεντρες γωνίες τους.
Εγγεγραμμένη Γωνία: Η γωνία που η κορυφή της είναι σημείο του κύκλου και οι πλευρές της τέμνουν τον κύκλο. Ισούται με το μισό της αντίστοιχης επίκεντρης γωνίας ή το μισό του αντίστοιχου τόξου.
Γωνία σε Ημικύκλιο: Κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ορθή (90°). Εξετάστε αυτή την περίπτωση σαν εργασία.
0.2 Σχετικές Θέσεις Ευθείας και Κύκλου
Η θέση μιας ευθείας ως προς κύκλο εξαρτάται από την απόσταση (\(d\)) του κέντρου από την ευθεία σε σχέση με την ακτίνα (\(\rho\)):
1. Εξωτερική ευθεία: \(d > \rho\) (κανένα κοινό σημείο).
2. Εφαπτομένη: \(d = \rho\) (ένα κοινό σημείο, το σημείο επαφής). Η ακτίνα στο σημείο επαφής είναι κάθετη στην εφαπτομένη.
3. Τέμνουσα: \(d < \rho\) (δύο κοινά σημεία).
Για να μπορέσετε να δείτε την στιγμή που κύκλος και ευθεία εφάπτονται κάντε το εξής:
αφού επιλέξετε την ευθεία μετακινήστε την με πολύ μικρά βήματα κάνοντας αυτό:
κρατώντας πατημένο το Shift και συνχρόνως το βέλος δεξιά ή βέλος αριστερά μετακινήστε την αυθεία μέχρι να γίνει εφαπτομένη
0.3 Ενδεικτικές Ασκήσεις
Υπολογισμός Γωνιών: Αν μια επίκεντρη γωνία είναι 110°, η αντίστοιχη εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει στο ίδιο τόξο θα είναι \(110 / 2 = 55^\circ\).
Εφαπτόμενα Τμήματα: Από εξωτερικό σημείο \(M\) φέρνουμε εφαπτόμενα τμήματα \(ΜΑ\) και \(ΜΒ\). Αυτά είναι ίσα μεταξύ τους (\(ΜΑ = ΜΒ\)).
Να σχεδιάσεις ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ = 3,6 cm και έναν κύκλο με διάμετρο την ΑΒ. Να χαράξεις τις εφαπτόμενες του κύκλου που διέρχονται από τα Α και Β. Να δικαιολογήσεις γιατί οι εφαπτόμενες αυτές είναι ευθείες παράλληλες.
Να σχεδιάσεις δύο κάθετες ευθείες \(ε_1\) και \(ε_2\) και να ονομάσεις Α το σημείο τομής τους. Να πάρεις ένα σημείο Κ της \(ε_1\), ώστε να είναι ΚΑ = 3,1 cm. Να φέρεις τους κύκλους (Κ, 2,1cm), (K, 3,1cm) και (K, 36mm). Να βρεις ποια είναι η θέση της \(ε_2\) ως προς τους κύκλους αυτούς.
Να σχεδιάσεις δύο παράλληλες ευθείες \(ε_1\) και \(ε_2\) που να απέχουν μεταξύ τους 2,5 cm. Να πάρεις ένα σημείο Μ της \(ε_1\) και να βρεις σημεία της \(ε_2\) που απέχουν 3,6 cm από το Μ.
Σε κύκλο Μία (𝐾, 6 cm) να κατασκευάσετε: Μια διάμετρο ΑΒ
Μία επίκεντρη γωνία(ΓΚΔ)
Δύο ακτίνες ΚΕ και ΚΖ
Μία χορδή ΕΘ.
Ένα τόξο \(\overset{\frown}{ΒΖΗ}\) .
0.4 1. Ασκήσεις Σχεδίασης και Ορισμών
- Σχεδίαση με διάμετρο: Σχεδιάστε έναν κύκλο με κέντρο \(O\) και διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα \(AB = 2,5 \text{ cm}\).
- Χορδές και Ακτίνες: Σχεδιάστε έναν κύκλο \((O, 3 \text{ cm})\), ορίστε ένα σημείο \(A\) πάνω σε αυτόν και χαράξτε τις χορδές \(AB = 1,2 \text{ cm}\) και \(A\Gamma = 3 \text{ cm}\).
- Ομόκεντροι Κύκλοι: Σχεδιάστε τρεις ομόκεντρους κύκλους με κέντρο \(O\) και διαμέτρους \(3,2 \text{ cm}\), \(5 \text{ cm}\) και \(3,4 \text{ cm}\).
- Προσδιορισμός Στοιχείων: Αν σχεδιάσετε έναν κύκλο με διάμετρο \(AB = 3,6 \text{ cm}\), προσδιορίστε τη θέση του κέντρου και το μήκος της ακτίνας του.
0.5 2. Υπολογιστικές Ασκήσεις (Μοίρες και Τόξα)
- Διαδοχικά Τόξα: Σε έναν κύκλο με διάμετρο \(AB\), θεωρούμε στο ίδιο ημικύκλιο τρία σημεία \(K, \Lambda, M\) έτσι ώστε τα τόξα \(AK = K\Lambda = \Lambda M = 20^\circ\). Να βρείτε πόσες μοίρες είναι το τόξο \(MB\).
- Άθροισμα Επίκεντρων Γωνιών: Σχεδιάστε δύο διαδοχικές επίκεντρες γωνίες \(A\hat{O}B = 80^\circ\) και \(B\hat{O}\Gamma = 115^\circ\). Υπολογίστε το μέτρο της κυρτής γωνίας \(A\hat{O}\Gamma\).
- Σχέση Διαμέτρων: Σε έναν κύκλο φέρτε δύο διαμέτρους \(AB\) και \(\Gamma\Delta\). Αν το τόξο \(\overset{\frown}{A\Delta} = 60^\circ\), βρείτε τις γωνίες που σχηματίζουν οι δύο διάμετροι.
0.6 3. Ασκήσεις Κρίσεως και Πράξεων
- Πράξεις Τόξων: Χρησιμοποιώντας ένα σχήμα με διαδοχικά σημεία \(A, B, \Gamma, \Delta\) πάνω σε έναν κύκλο, βρείτε τα αποτελέσματα των πράξεων:
- (α) \(\overset{\frown}{AB} + \overset{\frown}{B\Gamma}\),
- (β) \(\overset{\frown}{AB} + \overset{\frown}{B\Gamma} +\overset{\frown} {\Gamma\Delta}\) και
- (γ) \(\overset{\frown}{AB\Gamma} - \overset{\frown}{B\Gamma}\).
- Σωστό ή Λάθος:
- «Μια χορδή κύκλου είναι πάντα μικρότερη ή ίση από τη διάμετρο».
- «Το κέντρο ενός κύκλου είναι το μέσο κάθε διαμέτρου του».
- «Κάθε επίκεντρη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι \(180^\circ\)».
ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ !